微积分重点（Highlights of Calculus）是 MIT 数学教授 Gilbert Strang 对于微积分中的精华和重点出的一个生动、简短的课程，帮助我们重新审视微积分，课程主要涉及单变量微积分的总览。以下为我在学习过程中所做的笔记，可供参考。

一、微积分总览

微积分是函数（1）和函数（2）之间的桥梁，例如距离$f\left( t\right)$和速度$\dfrac{df}{dt}$；高度$y\left( x\right)$和斜率$\dfrac{dy}{dx}$。

匀速情况下，$速度=\dfrac{距离}{时间}$，即$斜率=\dfrac{垂直}{水平}$，即$s=\dfrac{f}{t}$。若要求中间一段时间或距离的速度，$s=\dfrac{\Delta f}{\Delta t}$。

匀变速情况下，函数图像均为曲线，微分学就是已知$距离-时间$函数求$速度-时间$函数，积分学就是已知$速度-时间$函数求$距离-时间$函数。

$速度-时间$函数$s=at$下面积$\dfrac{1}{2}t\left( at\right)$就是$距离-时间$函数$\dfrac{1}{2}at^{2}$，速度$s=\dfrac{df}{dt}$就是$f=\int s\left( t\right) dt$的导数。

二、导数总览

已知距离$f\left( t\right)$如何求速度$\dfrac{df}{dt}$，即已知高度$y\left( x\right)$如何求斜率 $\dfrac{dy}{dx}$？

三个重要函数的斜率：

1. 幂函数$y=x^{n}$的斜率是$\dfrac{dy}{dx}=nx^{n-1}$；

2. 三角函数$y=\sin x$的斜率是$\dfrac{dy}{dx}=\cos x$；

3. 指数函数$y=e^{x}$的斜率是$\dfrac{dy}{dx}=e^{x}$。

$y=x^2$斜率的平均斜率是$\dfrac{\left( \Delta x\right) ^{2}}{\Delta x}$，即$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$，瞬时斜率是$\dfrac{dy}{dx}$；$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\left( x+\Delta x\right) ^{2}}{\Delta x}\dfrac{-x^{2}}{}=\dfrac{2xax+\left( \Delta x\right) ^{2}}{\Delta x}=2x+\Delta x$。

求导：$\dfrac{dy}{dx}=\lim\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=2x$。

任意 $x$ 处，$y=\sin x 的斜率\rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\cos x$。

三、极值及二阶导数

二阶导数：导数的导数。一阶导数用于确认极值点，二阶导数表明曲线弯曲方向。

二阶导数的例子：加速度

• 距离 $f\left( t\right)$ 、速度 $\dfrac{df}{dt}$、加速度 $\dfrac{d^{2}f}{dt^{2}}$。

• 高度 $y=x^2$ 、斜率 $\dfrac{dy}{dx}=2x$、弯曲性 $\dfrac{d^{2}f}{dt^{2}}=2$。

• $sinx$ 的二阶导数为 $-sinx$。

凸函数和凹函数：$f’’ >0$ 为凸，表示向上弯曲，相对的凹为 $f’’ <0$。

拐点：二阶导数为 0 的点，表示弯曲方向改变。

对于函数 $y=x^{3}-x^{2}$ $\rightarrow$ $y’=3x^{2}-2x$，$y’’=6x-2$：

• 求极值点：令 $y’=3x^{2}-2x=0$，$x= 0或x=\dfrac{2}{3}$。

• $x=0$ 处，二阶导数为负，取局部最大值（极大值）。

• $x=\dfrac{2}{3}$ 处，二阶导数为正，取局部最小值（极小值）。

应用：求上班的最短时间。设高速总长 $b$，家垂直上高速距离为 $a$，没走的高速距离为 $x$。

• $时间t=\dfrac{b-x}{60}+\dfrac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{30}$，取时间方程的导数，然后令导数为 0 来求最小值。
• $f’=-\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{30}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}=0$ $\rightarrow$ $x=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$。

最值的一般求法：比较所有驻点（$f’=0$）处及边界点函数值，得到最大或最小值即函数最值。

$f’’$ 的符号可通过 $f’$ 的单调性求出：$x>0$ 时，$f’(x)>f’(0)$ ，斜率变化率为正，$f’’>0$。

四、指数函数 $e^x$

最简单的微分方程：$y=\dfrac{dy}{dx}$。

指数函数：通过微积分构造的函数。

• 重要性质一：指数函数的导数就是其自身

• 函数初始点：$y=e^{0}=1$

• $\dfrac{x^{n}}{n!}$ 斜率的导数为 $\dfrac{x^{n-1}}{\left( n-1\right) !}$

• 指数级数：$e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{3}}{3!}+\ldots +\dfrac{x^{n}}{n!}+\ldots$

• 重要性质二：$e^{x}\cdot e^{X}=e^{x+X}$

• $e$ 等于 $x=1$ 时指数级数的值：$e=1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\ldots \dfrac{1}{n!}+\ldots\approx 2.71828\ldots$

指数函数的图像：

• 由重要性质二可得：$e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}$

  

应用：计算存款复利，假设利率为 100%，1 美元存一年得到 2 美元或更多，将一年分为 n 份付利息，得到 $\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}$，$n\rightarrow \infty$ 时最终趋近于 $e$。

• 解常微分方程：$\dfrac{dy}{dx}=cy$ $\rightarrow$ $y\left( x\right) =e^{cx}$

五、积分总览

函数二 $\dfrac{dy}{dx}=nx^{n-1}$ 是函数一 $y=x^{n}$ 的导数，函数一 $y=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ 是函数二 $\dfrac{dy}{dx}=x^{n}$ 的积分。

求原函数：$y\left( x\right) =\int s\left( x\right) dx$。

求积分方法A：反过来看什么函数的导数能得到要积分的函数。

例：通过代数方法求函数一：

相加求和：$\sum \Delta y=y_{终}-y_{始}$。

例：通过微积分方法求函数一：同时乘除 $\Delta x$：$\sum \left( \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right) \Delta x=y_{终}-y_{始}$。

• 在 $\Delta x\rightarrow 0$ 的极限情况下，求和转化为积分：$\int \dfrac{dy}{dx}dx$。

求积分方法B：$积分=函数一=函数二图像下的面积$：斜率为 $s=2-2x$，对应的高度 $y=2x-x^2$。

Bezhuang