微分学重点的十二章关于导数的课程深入挖掘了微积分的子领域，“微分”。 与微积分重点的课程一样，MIT 数学教授 Gilbert Strang 解释了每个主题如何应用于现实生活中，是对微积分重点的补充，以下为所记课堂笔记，笔记以中文形式记录，方便理解，可供参考。

极限和连续

极限定义：当 $n\rightarrow \infty$ 时，$a_{n}\rightarrow A$

洛必达法则：假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都收敛于 0

可导必然连续，连续不一定可导

连续定义：对任取 $\varepsilon$，都能找到 $\delta$，满足如果 $\left| x-a\right| <\delta$，则 $\left| f\left( x\right) -f\left( a\right) \right| <\varepsilon$

$sinx$ 和 $cosx$ 的导数

用 $sin$ 和 $cos$ 表示勾股定理

• $a^2+b^2=c^2$ $\rightarrow$ $\dfrac{a^{2}}{c^{2}}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}}=1$

• $\left( \cos \theta \right) ^{2}+\left( \sin \theta \right) ^{2}=1$

• 因为 $\sin \left( x+\Delta x\right) =\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x$

• 所以原式 = $\dfrac{sinx\left( \cos \Delta x-1\right) }{\Delta x}+\dfrac{\cos x\sin \Delta x}{\Delta x}$

• 又因为 $\dfrac{\cos \left( \Delta x-1\right) }{\Delta x}\rightarrow 0$ 且 $\dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}\rightarrow 1$

• 所以 $\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x$

• 因为 $\cos \left( x+\Delta x\right) =\cos x\cos \Delta x-\sin x\sin \Delta x$

• 所以原式 = $\dfrac{cos\left( \cos \Delta x-1\right) }{\Delta x}-\dfrac{\sin x\sin \Delta x}{\Delta x}$

• 所以 $\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

$sinx$ 和 $cosx$ 的导数

• $\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x$

• $\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

乘法法则和除法法则

• $\dfrac{\Delta p}{\Delta x}=\dfrac{f\Delta g}{\Delta x}+\dfrac{g\Delta f}{\Delta x}+\dfrac{\Delta f{\Delta }g}{\Delta x}$

• 乘法法则：$\dfrac{dp}{dx}=f\left( x\right) \dfrac{dg}{dx}+g\left( x\right) \dfrac{df}{dx}$

• $\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$

• $y=x^2sinx$：$\dfrac{dy}{dx}=x^{2}\cos x+2xsinx$

• $f(x)=g(x)q(x)$

• $\dfrac{df}{dx}=g\left( x\right) \dfrac{dq}{dx}+q\left( x\right) \dfrac{dg}{dx}=g\left( x\right) \dfrac{dq}{dx}+\dfrac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\dfrac{dg}{dx}$

• $g\left( x\right) \dfrac{df}{dx}-f\left( x\right) \dfrac{dg}{dx}=g(x)^{2}\dfrac{dq}{dx}$

• 除法法则：$\dfrac{dq}{dx}=\dfrac{g\left( x\right) \dfrac{df}{dx}-f\left( x\right) \dfrac{dg}{dx}}{g\left( x\right) ^{2}}$

链式法则

函数链（复合函数）：$y=g(x)$，$z=f(y)$

• 求导：$\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\dfrac{dy}{dx}$

$sin(3x)$ 的导数：$3cos(3x)$

$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 的导数：$\left( -\dfrac{1}{2}\left( 1-x^{2}\right) ^{-3}\right) -2x=x\left( 1-x^{2}\right) ^{-\dfrac{3}{2}}$

$e^{-\dfrac{x^{2}}{2}}$ 的导数：$-x\cdot e^{-\dfrac{x^{2}}{2}}$

• 二阶导数：$\left( -x\right) \left( -xe^{-\dfrac{x^{2}}{2}}\right) +\left( e^{-\dfrac{x^{2}}{2}}\right) \left( -1\right)=(x^2-1)\cdot e^{-\dfrac{x^{2}}{2}}$

反函数 $f^{-1}\left( y\right)$ 与对数函数 $x=lny$

$y=f(x)$ 的反函数：$x=f^{-1}(y)$，原函数和反函数关于 $y=x$ 对称

$y=e^{x}$ 的反函数：$x=lny$

对数函数的性质

• $\ln(xy) =\ln x+\ln y$

• $ln(y^n)=nlny$

$\dfrac{d}{dy}\left( \ln y\right) =\dfrac{1}{y}$

对数函数 $lny$ 和反三角函数 $sin^{-1}(y)$ 的导数

令 $y=e^x$

• $\ln \left( e^{x}\right) =x$ 两边求导 $\dfrac{d}{dy}\left( \ln y\right) e^{x}=1$

• $\dfrac{d}{dy}\left( \ln y\right) =\dfrac{1}{e^{x}}=\dfrac{1}{y}$

$x=\sin ^{-1}y=\arcsin y$

• $y=\sin \left( \sin ^{-1}y\right)$ 两边求导 $1=\cos \left( \sin ^{-1}y\right) \dfrac{d\sin ^{-1}y}{dy}$

• $1=\sqrt{1-y^{2}}\dfrac{d}{dy}\sin ^{-1}y$

• $\dfrac{d}{dy}\sin ^{-1}y=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}$

同理：$\dfrac{d}{dy}\cos ^{-1}y=\dfrac{-1}{\sqrt{1-y^{2}}}$，$\dfrac{d}{dy}\tan ^{-1}\left( y\right) =\dfrac{1}{1+y^{2}}$

增长率和对数图

线性增长：$cx,x^{2},x^{3},\ldots$

指数增长：$2^{x},e^{x},10^{x},\ldots$

阶乘：$2^{x},e^{x},10^{x},\ldots$

对数图

线性拟合

• $y=Ax^{n}\rightarrow \log y=\log A+n\log x$

• $y=B\cdot 10^{cx}\rightarrow \log y=\log B+cx$

线性近似和牛顿法

取 $x=a$，已知 $\dfrac{df}{dx}=f’\left( a\right) =\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}$，求 $f(x)$

线性近似：函数在 a 点一阶泰勒展开

• $f’\left( a\right) \approx \dfrac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}$

• $f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +\left( x-a\right) f’\left( a\right)$

牛顿法

• 令 $F(x)=0$

• $x-a\approx \dfrac{-F\left( a\right) }{F’\left( a\right) }$

近似法求 $\sqrt{9.06}$

• $f\left( x\right) =\sqrt{x}=x^{\dfrac{1}{2}}$

• $f’\left( x\right) =\dfrac{1}{2}x^{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt[2] {x}}$

• 取 $a=9$，$f(a)=\sqrt9=3$，$f’(a)=\dfrac{1}{6}$

• $\sqrt{9.06}\approx 3+\left( 9.06-9\right) \dfrac{1}{6}=3.01$

近似法求 $e^{0.01}$

• $f\left( x\right) =e^{x}$（$x=0.01$）

• 取 $a=0$，$f(a)=e^0=1$，$f’(a)=e^0=1$

• $e^{x}=e^{0=01}=1+\left( 0.d-0\right) \cdot 1=1.01=1+x$

牛顿法求 $\sqrt{9.06}$

• $F\left( x\right) =x^{2}-9.06=0$

• 取 $a=3$，$F(a)=9-9.06=-0.06$，$F’(a)=2a=6$

• $x-3\approx \dfrac{0.06}{6}=0.01$

幂级数和欧拉公式

泰勒级数：$f\left( x\right) =f\left( 0\right) +f’\left( 0\right) \dfrac{x}{1}+f’’\left( 0\right) \dfrac{x^{2}}{2}+\ldots +f^{\left( n\right) }\left( 0\right) \dfrac{x^{n}}{n!}$

• $x^n$ 的 n 阶导：$n!$

使用泰勒级数展开的幂级数

• $e^{x}=1+x+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x^{3}+\ldots +\dfrac{1}{n!}x^{n}$

• $\sin x=x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}\ldots$ 奇级数

• $\cos x=1-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}\ldots$ 偶级数

欧拉公式：将 $e^x$ 级数中的 $x$ 考虑为虚数 $i$

• $e^{ix}=1+ix+\dfrac{1}{2!}\left( ix\right) ^{2}+\dfrac{1}{3!}\left( ix\right) ^{3}+\ldots$

• 实数、虚数分离：$e^{ix}=\left( 1-\dfrac{1}{2!}x^{2}+\ldots \right) +i\left( x-\dfrac{1}{3!}x^{3}+\ldots \right)$

• 因此：$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

• 同理：$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

几何级数：$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots ( \left| x\right| < 1)$

将几何级数逐项积分：$-ln \left( 1-x\right) =x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{4}}{4}+\ldots ( \left| x\right| < 1)$

关于运动的微分方程

微分方程就是函数的导数和函数本身之间存在的关系

常系数二阶线性微分方程：$m\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}+2r\dfrac{dy}{dt}+ky=0$

• $m=0$ 时，$\dfrac{dy}{dt}=ay\rightarrow y=ce^{at}$

• $r=0$ 时，$\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}=-\omega ^{2}y$ （$\omega ^{2}= \dfrac{k}{m}$）$\rightarrow y=C\cos \omega t+D\sin \omega t$

• 

令 $y=e^{\lambda t}$ 满足方程 $m\lambda ^{2}e^{\lambda t}+2r\lambda e^{\lambda t}+ke^{\lambda t}=0$

• $m\lambda ^{2}+2r\lambda +k=0$

• $\lambda =\dfrac{-r\pm \sqrt{r^{2}-km}}{m}$

• $y=Ce^{\lambda {1}t}+De^{\lambda {2}t}$

• 若 $\lambda {1}=\lambda {2}$，$y=Ce^{\lambda t}+Dte^{\lambda t}$

当 $m=1,r=3,k=10$ 时，$1y’’+6y’+10y=0$

• $\lambda ^{2}+6\lambda +10=0$

• $\lambda =-3\pm i$

• $y\left( t\right) =Ce^{\left( -3+i\right) t}+De^{\left( -3-i\right) t}$

• 由欧拉公式：$y\left( t\right) =Ae^{-3t}\cos t+Be^{-3t}\sin t$

关于增长的微分方程

微分方程 $\dfrac{dy}{dt}=cy$，对于任意 A 有解 $y\left( t\right) =Ae^{ct}$

• $y\left( t\right) =y\left( 0\right) e^{ct}$

增加初始常数：$\dfrac{dy}{dt}=cy+s$

• $\dfrac{d}{dt}\left( y+\dfrac{s}{c}\right) =c\left( y+\dfrac{s}{c}\right)$

• $y\left( t\right) =-\dfrac{s}{c}+\left( y\left( 0\right) +\dfrac{s}{c}\right) e^{ct}$

人口增长方程：$\dfrac{dP}{dt}=cP-sP^{2}$，$c$ 为增长率而 $s$ 为竞争因素

• 

• 令 $y=\dfrac{1}{P}$，$\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{\dfrac{dP}{dt}}{P^{2}}=\dfrac{\left( cP+sP^{2}\right) }{P^{2}}=s-cP=s-cy$

• $y\left( t\right) =\dfrac{s}{c}+Ae^{-ct}=\dfrac{s}{c}+\left( y\left( 0\right) -\dfrac{s}{c}\right) e^{-ct}$

• $\dfrac{1}{p\left( t\right) }-\dfrac{s}{c}=\left( \dfrac{1}{p(0)}-\dfrac{s}{c}\right) e^{-ct}$

人口增长方程二阶导数：$\dfrac{d^{2}P}{dt^{2}}=\dfrac{d}{dt}\left( cP-sP^{2}\right) =\left( c-2sP\right) \dfrac{dP}{dt}$

• $p=\dfrac{c}{2s}$ 时，$\dfrac{d^{2}P}{dt^{2}}=0$（拐点，增长率开始放缓）

微分学总结

六函数

六法则

加法法则：和的导数等于导数的和

• $af\left( x\right) +bg\left( x\right) \rightarrow a\dfrac{df}{dx}+b\dfrac{dg}{dx}$

乘法法则：上乘下导加下乘上导

• $f\left( x\right) g\left( x\right) \rightarrow f\left( x\right) \dfrac{dg}{dx}+g\left( x\right) \dfrac{df}{dx}$

除法法则：下平方分之下乘上导减上乘下导

• $\dfrac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\rightarrow \dfrac{g\left( x\right) \dfrac{df}{dx}-f\left( x\right) \dfrac{dg}{dx}}{g\left( x\right) ^{2}}$

链式法则

• $f\left( g\left( x\right) \right) \rightarrow \dfrac{df}{dy}\dfrac{dy}{dx}$

反函数的导数等于原函数的导数分之一

• $x=f^{-1}\left( y\right) \rightarrow \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}$

洛必达法则：$\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty }{\infty }$

• $\dfrac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\rightarrow \dfrac{\dfrac{dt}{dx}}{\dfrac{dg}{dx}}$

六定理

微积分基本定理

• 如果函数 $f(x)=\int _{a}^{x}s\left( t\right) dt$，那么函数的导数为 $\dfrac{df}{dx}=s\left( x\right) $

• 如果函数的导数为 $\dfrac{df}{dx}=s\left( x\right) $，那么导数的积分（原函数）为 $\int _{a}^{b}s\left( x\right) dx=f\left( b\right) -f\left( a\right) $

介值定理（全值定理）

• 对于 $a\leq x\leq b$ 区间上的连续函数

• 一定能取到最大值 $M$ 和最小值 $m$，使得 $[M,m]$ 中的任意值都存在函数上的点与之对应

• 连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值 $M$ 和最小值 $m$之间

中值定理

• 如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\varepsilon $，使 $f\left( b\right) -f\left( a\right) =f\left( \varepsilon \right) \left( b-a\right) $ 成立

泰勒级数

• $f\left( x\right) =f\left( a\right) +f’\left( a\right) \left( x-a\right) +\dfrac{1}{2}f’’\left( a\right) \left( x-a\right) ^{2}+\ldots =\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{1}{n!}f^{\left( n\right) }\left( a\right) \left( x-a\right) ^{n}$

• 若级数截断于 $\left( x-a\right) ^{n}$ 项，余项为：$\dfrac{1}{\left( n+1\right) !}f^{\left( n+1\right) }\left( c\right) \left( x-a\right) ^{\left( n+1\right) }$

• 当 $a=0$ 时，$f\left( x\right)=\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{1}{n!}f^{\left( n\right) }\left( 0\right) \left( x\right) ^{n}$

二项式定理

• 帕斯卡三角：

• $(1+x)^p=1+px+\dfrac{P\left( p-1\right) }{\left( 2\right) \left( 1\right) }x^{2}+\dfrac{p\left( p-1\right) \left( p-2\right) }{\left( 3\right) \left( 2\right) \left( 1\right) }x^{3}+\ldots $

Bezhuang