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2020 年 MIT 数学教授 Gilbert Strang 录制了一个关于线性代数的学习和教学的一个新的、启发性的课程,从矩阵 A 的列空间和组合这些列的乘法 Ax 开始,包括了线性代数的概览、正交向量、特征值和特征向量、以及奇异值和奇异向量等方面的内容。以下为我在学习过程中所做的笔记,可供参考。

一、矩阵的列空间

常用矩阵

A0 所有的行向量在同一个方向并且所有的列向量在同一个方向:

A0=[1324128264]

A1 第一行加第二行等于第三行:

A1=[142413555]

S 为对称矩阵:

S2=[2112]S3=[110121011]S4=[210121012]

Q 为正交矩阵:

Q5=[cosθsinθsinθcosθ]A6=[3045]

A 的列空间(列的所有线性组合)

Ax 为一种特殊的列的线性组合,将矩阵乘以向量:

Ax=[145325213][x1x2x3]=[132]x1+[x21]x2+[553]x3

A 的列空间 = C(A) = 所有 Ax 向量 = 各列的所有线性组合,C(A) 是一个平面。

列空间的基

C 中包含了第一列 [132]T,也包含第二列 [421]T。C 不包含第三列,该列与前两列线性相关:[553]T=[132]T+[421]T

A=CR=[143221][101011]
  • 行秩 = 列秩 = r = 2

  • C 是平面的两个独立列向量,而 R 则表示了 A 是如何通过 C 中的两个向量重组 A 的

  • R 的 r 行是行空间的一组基

A=CR 表明 A 的行秩等于列秩

  • C 的 r 列相互线性独立(由定义可知)
  • A 的每一列都是(C 的)这 r 列的线性组合(因为 A = CR)
  • R 的 r 行相互线性独立(这 r 列包含了 r × r 的矩阵 I )
  • A 的每一行都是(C 的)这 r 行的线性组合(因为 A = CR)

核心内容

  • C 的 r 列组成了 A 的列空间的基:维度 r
  • R 的 r 列组成了 A 的行空间的基:维度 r

基包含两个向量

  • A 的秩等于 r = 2
  • nr=32=1

计数定理

  • Ax=0 有一组解 x=(1,1,1)nr 组独立解可使 Ax=0 成立

秩为 1 的矩阵 A

如果 A 的任意一列均为第一列的若干倍,那么 A 的每一行均为某行的若干倍

用 A = CR 来证明

  • C 当中的一列 v ⇒ R 当中的一行 w
  • A=[v][w] ⇒ 每一行都是 w 的倍数

A = CR 的优良性质

C 的列直接来源于 A:体现了此公式的内涵

R 变成了A 的行化简阶梯形

“行秩 = 列秩”这一结论变得显然:C = 列的基,R = 行的基

A = CR 不好的性质

C 和 R 可能是病态矩阵

如果 A 是可逆的,则有 C = A 和 R = I ⇒ A = AI,原地打转

二、线性代数概览

线性方程组

Ax=0 则有 [1  m][x]=[0  0],x 与 A 的各列均正交

  • 每个处于 A 的零空间当中的 x 都与 A 的行空间正交
  • 每个处于 AT 的零空间当中的 y 都与 A 的列空间正交

N(A)C(AT)N(AT)C(A)

  • 两对正交子空间,其中一对子空间的维度之和等于 n,另一对等于 m

宏观视角下的线性代数

一对子空间处于 $R{n}之中,另一对处于R{m}$ 当中,从行空间变换为列空间——由此可知 A 是可逆的。

列与行相乘(六组因式)

A = BC = 秩为 1 的矩阵之和(列乘以行:外积)

对矩阵相乘的全新理解(高层次),每次拿一列乘以一行是低层次的

A=[23 47]=[10 21][23 01]=LU (将矩阵拆分成上下两个三角矩阵)

  • 2x+3y=74x+7y=15x=2,y=1
  • 若两行发生交换,则 PA=LU (P 指的是排列矩阵)

用消元来解Ax = b(因式 A = LU)

下三角矩阵 L 乘以上三角矩阵 U

三、正交向量

正交向量 – 矩阵 – 子空间

XTy=0,yTx=0,(x+y)T(x+y)=xxT+yyT

(直角三角形)

Q=13[12 21 22]QTQ=I,QQTIQQTQQT=QQT

正交矩阵

四、特征值和特征向量

特征值和特征向量

五、奇异值和奇异向量

奇异值和奇异向量

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