2020 年 MIT 数学教授 Gilbert Strang 录制了一个关于线性代数的学习和教学的一个新的、启发性的课程,从矩阵 A 的列空间和组合这些列的乘法 Ax 开始,包括了线性代数的概览、正交向量、特征值和特征向量、以及奇异值和奇异向量等方面的内容。以下为我在学习过程中所做的笔记,可供参考。
一、矩阵的列空间
常用矩阵
A 的列空间(列的所有线性组合)
列空间的基
C 中包含了第一列
行秩 = 列秩 = r = 2
C 是平面的两个独立列向量,而 R 则表示了 A 是如何通过 C 中的两个向量重组 A 的
R 的 r 行是行空间的一组基
- C 的 r 列相互线性独立(由定义可知)
- A 的每一列都是(C 的)这 r 列的线性组合(因为 A = CR)
- R 的 r 行相互线性独立(这 r 列包含了 r × r 的矩阵 I )
- A 的每一行都是(C 的)这 r 行的线性组合(因为 A = CR)
核心内容
- C 的 r 列组成了 A 的列空间的基:维度 r
- R 的 r 列组成了 A 的行空间的基:维度 r
基包含两个向量
- A 的秩等于 r = 2
计数定理
有一组解 有 组独立解可使 成立
秩为 1 的矩阵 A
如果 A 的任意一列均为第一列的若干倍,那么 A 的每一行均为某行的若干倍
用 A = CR 来证明
- C 当中的一列
⇒ R 当中的一行 ⇒ 每一行都是 的倍数
A = CR 的优良性质
C 的列直接来源于 A:体现了此公式的内涵
R 变成了A 的行化简阶梯形
“行秩 = 列秩”这一结论变得显然:C = 列的基,R = 行的基
A = CR 不好的性质
C 和 R 可能是病态矩阵
如果 A 是可逆的,则有 C = A 和 R = I ⇒ A = AI,原地打转
二、线性代数概览
线性方程组
若
- 每个处于 A 的零空间当中的 x 都与 A 的行空间正交
- 每个处于
的零空间当中的 y 都与 A 的列空间正交
- 两对正交子空间,其中一对子空间的维度之和等于 n,另一对等于 m
宏观视角下的线性代数
一对子空间处于 $R{n}
列与行相乘(六组因式)
A = BC = 秩为 1 的矩阵之和(列乘以行:外积)
对矩阵相乘的全新理解(高层次),每次拿一列乘以一行是低层次的
, ⇒- 若两行发生交换,则
(P 指的是排列矩阵)
用消元来解Ax = b(因式 A = LU)
下三角矩阵 L 乘以上三角矩阵 U
三、正交向量
正交向量 – 矩阵 – 子空间
(直角三角形)
正交矩阵
四、特征值和特征向量
特征值和特征向量
五、奇异值和奇异向量
奇异值和奇异向量